Question

已知抛物线y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，当n=1，2，3，…时，该抛物线在x轴上所截得的线段长依次组成数列{a_n}，其顶点的纵坐标依次组成数列{b_n}，求

lim

n→∞

[(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)]．

Answer 1

分析：先设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的两个根，利用根与系数的关系写出x₁+x₂，x₁•x₂，从而a_n和bn，利用拆项法求和a₁+…+a_n，b₁+…+b_n最后求出和的极限即可．

解答：解：设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的两个根，
x₁+x₂=

2n+1

n(n+1)

，x₁•x₂=

1

n(n+1)

a_n=|x₁-x₂|=

(x 1 +x     2 ) 2-4x 1x 2

=

(  2n+1 n(n+1) ) 2-4 1 n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
bn=

4n(n+1)-(2n+1) 2

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
a₁+…+a_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

b₁+…+b_n=

1

4

（1-

1

n+1

）
∴

lim

n→∞

[(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)]=lim

3

4

（1-

1

n+1

）=

3

4

．

点评：本小题主要考查数列与解析几何的综合、抛物线的图象与性质、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．