Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为

（

5

4

，

5

3

）

．

Answer 1

分析：f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．

解答：解：∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+

1

x

），
令g（x）=

1

2

（x+

1

x

），求导函数可得g′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

（x+

1

x

）＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此时满足△＞0，
故a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．
故答案为：（

5

4

，

5

3

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．