题目内容

f（x）= $数学公式$ ，已知f（m）=1，求m．

解：由题意可得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
解可得，x=-1或x=-3，或x=3
∵f（m）=1
∴m=-1或m=±3
分析：由 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 可求x，即可求解m
点评：本题主要考查了分段函数的函数解析式的应用，体现了分类讨论思想的应用．

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已知偶函数f（x）满足条件：当x∈R时，恒有f（x+2）=f（x），且0≤x≤1时，有f′（x）＞0，则f（

）的大小关系是（　　）

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（

）的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1．

已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证f（x）是偶函数；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求实数a的取值范围．

（2010•江苏模拟）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=x²，f2(x)=

(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

xi=1，证明：

xilnxi≥-ln2nln

（i，n∈N^*）．