Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1．

Answer 1

分析：（1）由题条件知若能求出f（1）的值，再由1=2×

1

2

即可得到求得f（

1

2

）的值；
（2）题设中有x＞1时，f（x）＞0，故可令0＜x₁＜x₂，由x2=x1•

x2

x1

的恒等变形及题设中的恒等式得到f（x₁）+f（

x2

x1

）=
f（x₂），由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；
（3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可

解答：解：（1）令x=y=1，则可得f（1）=0，
再令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

），故f（

1

2

）=-1
（2）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）+f（

x2

x1

）=f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
∵

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在（0，+∞）上为增函数
（3）由f（x²）＞f（8x-6）-1得f（x²）＞f（8x-6）+f（

1

2

）=f[

1

2

（8x-6）]，
故得x²＞4x-3且8x-6＞0，解得解集为{x|

3

4

＜x＜1或x＞3}．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查抽象函数单调性的证明，对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小，或

f(x 1)

f(x 2)

的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1=x2•

x1

x2

，x₁=x₂+x₁-x₂