Question

已知函数f(x)＝alnx―ax―3(a∈R且a≠0)．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间(t，3)上总存在极值？

(Ⅲ)当a＝2时，设函数h(x)＝(p－2)x――3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h(x₀)＞f(x₀)成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由知：

　　当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

　　当时，函数的单调增区间是，单调减区间是　　4分

　　(Ⅱ)由，∴，．

　　故，……6分

　　∴，∵函数在区间上总存在极值，

　　∴有两个不等实根且至少有一个在区间内

　　又∵函数是开口向上的二次函数，且，

　　∴　　8分

　　由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；

　　综上得：所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值　　10分

　　(Ⅲ)令，则

　　．

　　①当时，由得，从而，

　　所以，在上不存在使得；

　　②当时，，，在上恒成立，故在上单调递增．

　　故只要，解得综上所述，的取值范围是　　14分