Question

【题目】已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点，

∴a=2，b=1，则 = ，

∴椭圆C的方程为 ，离心率为e=

（2）

证明：如图，

设P（x0，y0），则 ，PA所在直线方程为 ，

取x=0，得 ；

，PB所在直线方程为 ，

取y=0，得 ．

∴|AN|= ，

|BM|=1﹣ ．

∴ = = =

= = ．

∴四边形ABNM的面积为定值2．

【解析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ，则椭圆C的方程可求，离心率为e= ；（2）设P（x0 ， y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由 ，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．；本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．