Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点．
（1）求异面直线BD₁与DE所成角的大小；
（2）F是CD的中点，求三棱锥C₁-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴建立空间坐标系，写出B、D₁、D、E的坐标，求出

BD1

与

DE

的坐标，利用夹角公式即可求出异面直线BD₁与DE所成角的大小
（2）先计算三棱锥C₁-AEF的底面积即三角形AEF的面积，再计算三棱锥C₁-AEF的高，即CC₁的长，最后利用三棱锥体积公式即可求出求三棱锥C₁-AEF的体积

解答：解：（1）分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴建立空间坐标系如图，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1， 0)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)

DE

=(1，-

1

2

，0)，

BD1

=(-1，1，1)，⇒|

DE

|=

5

2

，|

BD1

|=

3

，

DE

•

BD1

=-

3

2

由 cosθ=

DE • BD1

| DE |•| BD1 |

=

- 3 2

5 2 • 3

=-

15

5

∴异面直线BD₁与DE所成角为arccos

15

5

．
（2）∵三棱锥C₁-AEF的底面积即三角形AEF的面积
S△AEF=

1

2

×

2

2

×

3 2

4

= 

3

8

，又∵三棱锥C₁-AEF的高，即CC₁的长为1
∴三棱锥C₁-AEF的体积VC1-AEF=

1

3

×

3

8

×1=

1

8

．

点评：本题考查了空间线线的位置关系，空间异面直线所成的角的求法，以及三棱锥体积的计算，解题时要善于利用空间直角坐标系解决立体几何问题，计算要认真细致