Question

设函数f(x)＝x²＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(Ⅰ)当时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

(Ⅱ)求函数f(x)的极值点；

(Ⅲ)求证：．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，， 　　当时，函数在定义域上单调递增．　4分 　　(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表： 　　由此表可知：时，有惟一极小值点，………6分； 　　当时，，，此时，，随的变化情况如下表： 　　由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；　8分 　　综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点． 　　(Ⅲ)证：要证 　　即证，即证 　　即证令，由(Ⅰ)可知在上递减，故即，令，故累加得， 　　故，得证　14分 　　法二：＝ 　　　14分，其余相同证法