Question

对于a，b∈R，记max{a，b}=

b   a＜b a   a≥b

，若函数f(x)=max{

1

2

x，|x-1|}，其中x∈R，则f（x）的最小值为

1

3

．

Answer 1

分析：根据两个式子比较大小和绝对值的意义，将f（x）化简成分段函数的形式，可得f（x）单调性，由此即可求得函数f（x）的最小值．

解答：解：由

1

2

x=|x-1|得，3x²-8x+4=0，解得x=

2

3

或2，
当x≤

2

3

或x≥2时，|x-1|≥

1

2

x，
当

2

3

＜x＜2时，|x-1|＜

1

2

x，
∴由定义得，f(x)=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 |x-1|     x≤ 2 3 或x≥2

=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 1-x    x≤ 2 3 x-1     x≥2

，
∴f（x）在（-∞，

2

3

）上是减函数；在（

2

3

，2），（2，+∞）上是增函数，
则函数f（x）的最小值为f（

2

3

）=1-

2

3

=

1

3

，
故答案为：

1

3

．

点评：本题给出特殊定义，求函数f（x）的最小值，着重考查了实数比较大小、绝对值的意义和分段函数的处理等知识，属于中档题．