Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2–2x+2．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[2m，2n]，试求实数m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）根据偶函数性质求解x<0 时解析式，再根据分段函数形式得结果（2）先根据函数值域确定m取值范围，再根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论最值取法，最后根据最值求m，n的值．

（1）当 x<0 时，–x>0，

由题意，f（–x）=（–x）2 +2x+2=x2 +2x+2，

因为 f（x）是偶函数，∴f（x）=f（–x）=x 2 +2x+2，

∴f（x）=

（2）∵函数 f（x）的值域为[1，+∞），显然有 2m≥1，即 m≥

①当时，f（x）单调递减，此时

∴m2 =n2 ，显然不成立，

②当时，f（x）在（m，1）上单调递减，在（1，n）上单调递增，

f（x）min =f（1）=1=2m，f（m）= f（）=，f（n）=n2 –2n+2，

若f（x）max =f（）, 即2n=，n= （舍）

若 f（x）max =f（n），即 2n=n2 –2n+2，n=2+ 或n=2 （舍）

∴m=, n=2+

③当 1<m<n 时，f（x）单调递增

此时 ∴ （舍）

综上，m=