Question

（2013•滨州一模）已知函数f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1，x∈R，f（x）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=2sinA，c=

3

，f（C）=0．sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解周期及最小值
（II）先由f（C）=0求出C，然后由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，可求a，b

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1

3

sin2x-(cos2x+1)-1
=

3

sin2x-cos2x-2=2sin(2x-

π

6

)-2
∴T=π，最小值为-4
（II）∵f(C)=2sin(2C-

π

6

)-2=0
∴sin（2C-

π

6

）=1
∵C∈（0，π），2C-

π

6

∈(-

π

6

，

11π

6

)
∴2C-

π

6

=

π

2

∴C=

π

3

∵sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²=3
∴a=1，b=2

点评：本题主要考查了二倍角、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数性质的应用及正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用．