Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2

3

，AA₁=2
（1）判断AB与A₁C₁的位置关系；
（2）求AB与A₁C₁的夹角
（3）求AD与B₁C的夹角．

Answer 1

分析：（1）根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A₁C₁的位置关系是异面；
（2）根据AB∥A₁B₁得∠B₁A₁C₁就是异面直线AB与A₁C₁的所成角，Rt△B₁A₁C₁中，由A₁B₁=B₁C₁=2

3

得
△B₁A₁C₁是等腰直角三角形，由此即可得到异面直线AB与A₁C₁的所成角；
（3）由AD∥B₁C₁，得到∠CB₁C₁就是异面直线AD与B₁C的所成角．Rt△B₁CC₁中，结合题中数据算出tan∠CB₁C₁=

CC1

B1C1

=

3

，即可得到异面直线AB与A₁C₁的所成角为60°．

解答：解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁
而A₁C₁与A₁B₁是相交直线
∴AB与A₁C₁的位置关系是异面；
（2）由（1）得∠B₁A₁C₁就是异面直线AB与A₁C₁的所成角
∵Rt△B₁A₁C₁中，A₁B₁=B₁C₁=2

3

，
∴∠B₁A₁C₁=45°，即异面直线AB与A₁C₁的所成角为45°；
（3）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥B₁C₁，
∴∠CB₁C₁就是异面直线AD与B₁C的所成角
∵Rt△B₁CC₁中，B₁C₁=2

3

，CC₁=AA₁=2
∴tan∠CB₁C₁=

CC1

B1C1

=

3

，
可得∠CB₁C₁=60°，即异面直线AB与A₁C₁的所成角为60°．

点评：本题给出长方体，求异面直线所成角．着重考查了长方体的性质、异面直线的定义及异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．