Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。

Answer 1

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本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

方法一：

（Ⅰ）证明：连结EP，

∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD内，

∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC。

∴Rt△BCE≌Rt△PDE。

∴PE=BE。

∵F为PB中点。∴EF⊥PB

由三垂线定理得PA⊥AB，

∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA。

∴△EFP≌△EFA。

∴EF⊥FA.                                                      

∵PB、FA为面平PAB内的相交直线。

∴EF⊥平面PAB。                                               

（Ⅱ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1。

AB=,PA=，AC=

∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1，且AF⊥PB。

∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，

∴PB⊥平面AEF.                                                 

连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF

∠GAH为AC与平面AEF所成的角。                          

由△EGC∽△BGA可知EC=GB，EG=EB，AG=AC=.

由△EGC∽△EBF可知GH=BF=.

∴sin∠GAH=.

∴AC与平面AEF所成的角为arcsin      

方法二：

以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系. 

（Ⅰ）证明：

设E（a，0，0）其中a>0，则C（2a，0，0），A（0，1，0）B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）.

=（0，，），=（2a，1，-1），=（2a，0，0）。

?=0，∴EF⊥PB.  

?=0，∴EF⊥AB

又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B.

∴EF⊥平面PAB.       

（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.

可得=（，-1，0），=（，1，-1）

      

异面直线AC、PB所成的角为       

∴?=0,    PB⊥AF.

又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线,

即AC与平面AEF所成的角为arcsin.