Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥PB；

(Ⅱ)求证：PB∥平面AEC；

(Ⅲ)求二面角E－AC－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD可得PA^ AC又AB⊥AC，所以AC^ 平面PAB，所以AC⊥PB 　　(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB∴PB∥平面AEC 　　(3)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF^ 平面ABCD 　　同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB∴FO^ AC由三垂线定理可知∴Ð EOF是二面角E－AC－D的平面角．又FO＝AB＝PA＝EF∴Ð EOF＝45° 而二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，故所求二面角E－AC－B的大小为135° ．