Question

（2004•宁波模拟）（文）如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上，则以C'，A，B，D为顶点，构成一个四面体．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的正弦值；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三垂线定理证明DA⊥BC′，然后证明BC′⊥面ADC′；
（2）通过BC′⊥平面ADC′，说明∠DC′A是二面角A-BC′-D的平面角，通过△AC′D，求二面角A-BC′-D的正弦值；
（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，证明AM⊥平面BC′D，得到∠ABM是AB与平面BC′D所成的角，然后求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．

解答：解：（1）

DA?平面ABD AB是BC′在平面ABD内的射影 DA⊥AB

⇒

DA⊥BC′ BC′⊥DC′ DA∩DC′=D

⇒BC′⊥平面ADC′…（4分）
（2）BC′⊥平面ADC′，C′D?平面ADC′，C′A?平面ADC′，
所以BC′⊥C′D，BC′⊥C′A，
所以∠DC′A是二面角A-BC′-D的平面角，…（6分）
而

BC′⊥平面ADC′⇒DA⊥BC′                             DA⊥AB                         BC′∩AB=B

⇒DA⊥面ABC′⇒DA⊥AC′…（7分）
在Rt△AC′D中，sin∠DC′A=

DA

C′D

=

3

3 3

=

3

3

．…（8分）
（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，
BC′⊥C′A，AM∩AC′=A，∴BC′⊥平面ADC′
BC′?平面SDC′，∴平面ADC′⊥平面BDC′，
又AM⊥DC′，DC′=平面ADC′∩平面BDC′，
所以AM⊥平面BC′D，
所以∠ABM是AB与平面BC′D所成的角…（10分）
在Rt△DAC′中，AM•DC′=AD•AC′，AM=

AD•AC′

DC′

=

3•3 2

3 3

=

6

…（12分）
在Rt△ABM中，sin∠ABM=

AM

AB

=

6

3 3

=

2

3

（13分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直，二面角、直线与平面所成的角，考查空间想象能力，计算能力．