Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₆=a₅+2a₄，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为

7

3

．

Answer 1

分析：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，利用a₆=a₅+2a₄，及等比数列的通项公式可得a1q5=a1q4+2a1q3，
化为q²-q-2=0，即可解得q．
由于存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a1，可得

a 2 1 qm-1qn-1

=2a1，可得m+n=4．由于m，n∈N^*代入

1

m

+

4

n

即可得出最小值．

解答：解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₆=a₅+2a₄，∴a1q5=a1q4+2a1q3，化为q²-q-2=0，又q＞0，解得q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a1，
∴

a 2 1 qm-1qn-1

=2a1，化为2^m+n-2=4，
∴m+n-2=2，即m+n=4．
∴

1

m

+

4

n

=

1

4-n

+

4

n

=f（n）．
令n=1，f（n）=

1

4-1

+4=

13

3

；
同理可得f（2）=

5

2

；f（3）=

7

3

．
经过比较可得：

1

m

+

4

n

的最小值为

7

3

．
故答案为：

7

3

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．