Question

如图所示，多面体FE-ABCD中，ABCD和ACFE都是直角梯形，DC∥AB，AE∥CF，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CF=2AE=，∠ACF=∠ADC=．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）求二面角B-FE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，可证BC⊥平面ACFE；
（II）建立空间直角坐标系，利用向量的运算求出平面DEF、平面BEF的一个法向量，进而由两个法向量求出二面角余弦值的大小．
解答：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵，又AD=DC=AB，∴BC⊥AC，…（2分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACFE；…（4分）
（Ⅱ）解：以A为原点，分别以AB、AD、AE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=a，则D（0，2a，0），B（4a，0，0），E（0，0，a），F（2a，2a，2a），…（6分）
设，平面BEF，平面DEF，，
则，令x₁=1，∴，
∴…（8分）
由，令y₂=1，∴，∴…（9分）
∴，
故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是．…（12分）
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而便于几何体的线面关系以及建立坐标系利用向量解决空间角与空间距离的问题