题目内容

（1）a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
（2）求证：
a
-
a+3
＜
a+2
-
a+5
（a≥0）
分析：（1）由基本不等式，得a2+b2≥2ab、b2+c2≥2bc且c2+a2≥2ca，将此三式相加后化简可得原不等式恒成立；
（2）由a≥0得0＜
a
+
a+3
＜
a+2
+
a+5
，根据不等式的倒数法则，对不等式两边取倒数，再化简整理即可得到原不等式恒成立．
解答：解：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca
∴三式相加，得2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca
当且仅当a=b=c时，等号成立
不等式两边都除以2，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
即原不等式恒成立；
（2）∵a≥0，
∴0＜
a
+
a+3
＜
a+2
+
a+5

取倒数，得
1
a
+
a+3
＞
1
a+2
+
a+5
＞0
化简得
a
-
a+3
(
a
+
a+3
)(
a
-
a+3
)
＞
a+2
-
a+5
(
a+2
+
a+5
)(
a+2
-
a+5
)

即-
a
-
a+3
3
＞-
a+2
-
a+5
3
，
两边都乘以-3，可得
a
-
a+3
＜
a+2
-
a+5
．
点评：本题通过两个不等式恒成立的证明，考查了基本不等式、不等式的基本性质和倒数的性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）定义在R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），当m≠n时，f（m）≠f（n）；
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（ax+by+c）=1，a，b，c∈R，a≠0}，若A∩B=∅，求a，b，c满足的条件．
（1）a，b，c∈R，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca（综合法证明）
（2）求证：
2
-
3
＜
6
-
7
（分析法证明）
已知
5
b-c
5a
=1，(a，b，c∈R)，则下列不等关系最准确的是（　　）
选修4-5：不等式选讲
已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

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