Question

已知函数f(x)=x++b(x≠0)，其中a，b∈R，
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y=3x+1，求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[，2]，不等式f(x)≤10在[，1]上恒成立，求b的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由导数的几何意义得f′(2)=3，于是a=-8，
由切点P(2，f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
所以函数f(x)的解析式为．
（Ⅱ），
当a≤0时，显然f′(x)＞0（x≠0），这时f(x)在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数；
当a＞0时，令f′(x)=0，解得，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在上的最大值为与f(1)的较大者，
对于任意的，不等式f(x)≤10在上恒成立，
当且仅当，即，对任意的成立，
从而得，
所以满足条件的b的取值范围是．