题目内容

证明y=f (x)是奇函数的充要条件是y=f (x)的图像关于原点对称．

 

答案：
解析：

充分性：如果y=f (x)的图像关于原点对称，那么y=f (x)是奇函数．在y=f (x)图像上任取一点P(x，f (x))，因为y=f (x)图像关于原点对称，所以P点关于原点的对称点(－x，－f (x))必在y=f (x)图像上．即坐标可写成(－x， f (－x))而为同一点，所以f (－x)=－f (x)．所以f (x)是奇函数．

必要性：如果y=f (x)是奇函数，那么y=f (x)的图像关于原点对称．

在y=f (x)图像上任取一点M (x，f (x))，则M关于原点的对称点为(－x，－f (x))．∵ f (x)是奇函数，∴ －f (x)=f (－x) ．∴ (－x，f (－x))．即也在y=f (x)图像上．所以g=f (x)图像关于原点对称．

 


练习册系列答案
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证明y=f (x)是奇函数的充要条件是y=f (x)的图像关于原点对称．

 
设y=f(x)是定义在区间［-1,1］上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间［-1,1］上是否存在满足条件的奇函数y=f(x),且使得

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；

（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；

（3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；

（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；

（3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.

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