Question

已知向量，，
（I）求与平行的单位向量；
（II）设，若存在t∈[0，2]使得成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设向量=（x，y），根据题意，向量为单位向量且与平行，可得；解可得x、y的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由可得-kt||²+（t²+3）||²=0，进一步可化简为t²-4kt+3=0；可将原问题方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，分析易得t≠0，则可将其变形为k=（t+），由基本不等式易得k的最小值，即可得答案．
解答：解：（I）设向量=（x，y），
则有；
解可得或，
则=（，-）或（-，）；
（II）根据题意，易得||=2，||=1，且•=0；
由可得-kt||²+（t²+3）||²=0，
即t²-4kt+3=0，
问题转化为方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，
则当t=0时，方程t²-4kt+3=0不成立，所以t≠0，
此时k=（t+）≥，当且仅当t=时取到等号，
故k的取值范围是[，+∞）．
点评：本题考查向量数量积运算的综合应用，解（Ⅱ）题时注意首先将原问题转化为方程t²-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，进而转化为基本不等式的问题求解．