Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若，求的单调区间；

（2）当时，记的最小值为，求证：.

Answer 1

【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2) 见解析.

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，代入参数a的值，即可得到函数的单调区间；（Ⅱ）通过对函数求导研究函数的单调性得到，，由得：

，构造函数，对函数求导可得到函数的最值.

（Ⅰ）的定义域是，

.

当时，，

因为函数，单调递增，且，

所以：当时，，

当时，，

所以：函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得的定义域是，

，

令，则，

在上单调递增，

因为，

所以，，

故存在，使得，

当时，，故，单调递减；

当时，，故，单调递增；

故时，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，则

，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，即时，取最大值1，

故.