Question

【题目】已知平面直角坐标系内两定点，及动点，的两边所在直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设是轴上的一点，若（1）中轨迹上存在两点使得，求以为直径的圆面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由已知，列出方程，即可求解点的轨迹的方程；

（2）设点的坐标为，当直线斜率不存在时，可得，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，求解，由此列出不等式组，进而求得，又由为长轴端点时，可求得的坐标点，求得的值，即可得到结论．

详解：（1）由已知，即，

所以，又三点构成三角形，得

所以点的轨迹的方程为.

（2）设点的坐标为，

当直线斜率不存在时，可得分别是短轴的两端点，得到，

当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，

则由得①，

联立，得，

由得，整理得.

由韦达定理得，，②

由①②，消去得，

由，解得，

又因为为长轴端点时，可求得点，此时，

综上，或，又因为以为直径的圆面积，

所以的取值范围是.