Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M为棱AB的中点．
（1）证明：AC₁∥平面B₁MC；
（2）证明：平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．

Answer 1

分析：（1）要证明AC₁∥平面B₁MC，可证明AC₁∥平面B₁MC内的一条直线，由M为AB的中点，可找BC₁的中点，然后利用三角形中位线的性质得到显现平行，从而得到线面平行；
（2）证平面D₁B₁C⊥平面B₁MC，可证平面B₁MC经过平面D₁B₁C的一条垂线，由几何体为正方体易证AC₁⊥平面D₁B₁C，而OM∥AC₁，所以OM⊥平面D₁B₁C，从而证得结论．

解答：证明：（1）如图，
连接BC₁交B₁C于点O，则O是BC₁的中点，
又因为M 是AB的中点，连接OM，则OM∥AC₁．
因为OM?平面B₁MC，AC₁?平面B₁MC，
所以AC₁∥平面B₁MC．
（2）因为AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
所以AB⊥B₁C．
又因为B₁C⊥BC₁，且AB∩BC₁=B，所以B₁C⊥平面ABC₁．
因为AC₁?平面ABC₁，AC₁⊥B₁C．
同理，AC₁⊥B₁D₁．因为B₁D₁∩B₁C=B₁，
所以AC₁⊥平面D₁B₁C．
因为OM∥AC₁，所以OM⊥平面D₁B₁C．OM?平面B₁MC，所以平面D₁B₁C⊥平面B₁MC．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了平面与平面平行的判定，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是寻求判定定理成立的条件，是中档题．