Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，λsinBsinC-1=cos²A-cos²B-cos²C．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数λ的取值集合．

Answer 1

解：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，（1分）
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．（3分）
因为sinA≠0，所以． （4分）
因为B∈（0，π），所以．（6分）
（2）由已知条件λsinBsinC-1=cos²A-cos²B-cos²C（3）可得，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，
根据正弦定理知：a²=b²+c²-λbc，所以．（8分）
再由余弦定理可得，（9分）
因为，且三角形为直角三角形，所以 或，（10分）
所以或cosA=0，（11分）
所以λ的取值集合为．（12分）
分析：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理、诱导公式求得2sinAcosB=sinA，求得，由此求得B的值．
（2）由已知条件根据正弦定理求得，再由余弦定理可得，再由，且三角形为直角三角形，求出A的值，可得实数λ的取值集合．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．