Question

已知圆，椭圆．
（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．
据此,写出一般结论，并加以证明．

Answer 1

（1）
（2）一般结论为: “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”

试题分析：解法一：
（Ⅰ）设点，则， （1）　  1分

设线段的垂直平分线与相交于点，则，    2分
椭圆的右焦点，       3分
,， ，
， （2）             4分
由（1），（2），解得 ，点的横坐标为．      5分
（Ⅱ）一般结论为：

“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”  6分
证明如下：
（ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率
不存在时，此时切线方程为，
点在圆上 ，，
直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线
两切线互相垂直．         7分
（ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时，
可设切线方程为，
由得 ，
整理得，     8分
直线与椭圆相切，
，
整理得，       9分
，          10分
点在圆上，， ，，两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．         13分
解法二：
（Ⅰ）设点，则， （1）       1分
椭圆的右焦点，        2分
点在线段的垂直平分线上， ，
 ， ， （2）     4分
由（1），（2），解得， 点的横坐标为．     5分
点评：主要是考查了椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。