Question

正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=.x∈R.

(1)求证：f(x)是偶函数；

（2）求f(x)的最大值；

(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性.

Answer 1

解：（1）对于任意的x∈R，

f(-x)===f(x)

∴f(x)是偶函数.

(2)令z=,当x=0时，z=0，e ^z=1,∵e ^z是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0,e ^z＞1,

∴当x=0,即z=0时，取得最小值.

∴当x=0时，f(x)=取得最大值.

(3)任取x₁＜0,x₂＜0,且x₁＜x₂,有x₁²＞x₂²,∴＜-,∴＜,

∴

即f(x₁)＜f(x₂)

它表明当x＜0时，f(x)是递增的.