题目内容

给定椭圆C：（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是，椭圆C上一动点M1满足．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由题意得：得，半焦距，所以椭圆C的方程为，“伴随圆”的方程为x2+y2=4．
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，则 ，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2，由此能够导出y轴上存在点P（0，-2）．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：得，半焦距（2分）
则b=1椭圆C的方程为（3分）
“伴随圆”的方程为x2+y2=4（5分）
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），
则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，（1分）
则 整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0（3分）
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①（5分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
则有化简得m2=2（k2+1）②（7分）
联立①②解得，k2=1，m2=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y轴上存在点P（0，-2）（9分）
点评：本题考查圆锥曲线的直线 的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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精英家教网给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点(
5
，0)，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线x+y=3
2
与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点Q（a，b）轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点，且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时，求l1与l2的方程，并求线段|
MN
|的长度．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(
2
，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；
②求证：|MN|为定值．
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
1
a2
+
1
b2
为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
2
2
，求椭圆长轴长的取值范围．
给定椭圆C：（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是，椭圆C上一动点M1满足．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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