Question

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要加大投入2500元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为H(x)=500x-

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x2，其中x是产品售出的数量0≤x≤500．
（1）若为x年产量，y表示利润，求y=f（x）的解析式
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据利润等于销售收入（H(x)=500x-

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x2 ）减去成本（25x+5000），求出y=f（x）的解析式．
（2）根据函数的解析式，利用二次函数的性质可得，当x=475时，函数y=f（x）取得最大值，计算可得结果．

解答：解：（1）利润等于销售收入（H(x)=500x-

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x2 ）减去成本（25x+5000），
故y=f(x)=(500x-

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x2)-25x-5000=-

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x2+475x-5000，（0≤x≤500）；
（2）利用二次函数的性质可得，当x=475时，函数y=f（x）取得最大值为

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×4752-5000=107812.5（元），
即：当年产量为475部时，工厂的年利润最大，其最大值为：

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×4752-5000=107812.5元．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题题．