Question

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部．已知年销售收入为H(x)=500x-

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x2，其中x是产品售出的数量．
（1）若x为年产量，y表示年利润，求y=f（x）的表达式．（年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本））
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本题考查的是分段函数的有关知识，当0≤x≤500时，w=500x-

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x2-（5000+25x），当x＞500时，w=500×500-

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-500²；
（2）用配方法化简解析式，求出最大值．

解答：解：（1）当0≤x≤500时，产品全部售出
∴W=500x-

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x2-(5000+25x)
即 W=-

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x2+475x-5000（2分）
当x＞500时，产品只能售出500台
∴W=500×500-

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×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）
（2）当0≤x≤500时，W=-

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(x-475)2+107812.5（6分）
当x＞500时，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产计划475台．（10分）

点评：本题考查的是二次函数的实际应用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，属于基础题．