Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D是AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（2）求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析：（1）连接AC₁，交A₁C于点O，连接DO，先利用三角形中位线定理证明BC₁∥DO，从而利用线面平行的判定定理证明所证结论；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA₁B₁B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可

解答：解：如图，（1）连接AC₁，交A₁C于点O，连接DO
在△ABC₁中，点D是AB的中点，点O是A₁C的中点
∴BC₁∥DO，BC₁?平面CA₁D，DO⊆平面CA₁D
∴BC₁∥平面CA₁D
（2）∵AC=BC，D是AB的中点
∴CD⊥AB
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，平面AA₁B₁B∩平面ABC=AB
∴CD⊥平面AA₁B₁B，又CD?平面CA₁D
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B

点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性