题目内容
3．设An=（1+lgx）n，Bn=1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x（n≥3，n∈N），且x＞$\frac{1}{10}$，试比较An和Bn的大小，并证明你的结论．分析 对x分类讨论，利用对数的运算性质、二项式定理展开即可得出．
解答 解：∵n≥3，
∴An-Bn=[1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x+${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+…]-（1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x）
=${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+${∁}_{n}^{4}l{g}^{4}x$+…+${∁}_{n}^{n}l{g}^{n}x$．
当x≥1时，lgx≥0，∴An≥Bn．
当$\frac{1}{10}＜x＜1$时，-1＜lgx＜0，An＜Bn．
综上可得：当x≥1时，An≥Bn．当$\frac{1}{10}＜x＜1$时，An＜Bn．
点评 本题考查了分类讨论、对数的运算性质、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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