Question

如图，正方形ABCD边长为2，内切圆为⊙O，点P是⊙O上任意一点．
（1）求的值；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量减法的运算分别表示，、等代入式子，利用进行求解；
（2）以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立坐标系，设出P的坐标，由向量的坐标表示求出，由数量积坐标运算求出，根据圆的方程，求出结果为零，即证出垂直关系．
解答：（1）解：设正方形内切圆半径为r，则r=1．
∵
=，
又∵，
∴．
（2）证明：以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立如图所示的坐标系，
∴A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），P（x，y），
且x²+y²=1．
∴，
，
∴，
∴．
∴．
点评：本题的考点是向量在几何上的应用，根据图形的特点利用向量的线性运算进行化简求值，证明垂直时常用数量积的值为零来证明，建立坐标系时利用图形中的垂直关系或对称性．