Question

【题目】函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x成立，且f（1）＝0．

（1）求f（0）；

（2）求f（x）；

（3）当0<x<2时不等式f（x）>ax－5恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）－2（2）f（x）＝x2＋x－2（3）a<1＋2

【解析】

试题分析：本题没有给出函数的解析式，因此属于抽象函数问题．解决抽象函数问题的方法，关键在于“凑”，即“凑”出已知或是待求解的式子．（1）中我们要“凑”出f（0）；（2）中我们要“凑”出f（x）；（3）中我们要“凑”出我们力所能解的基本不等式

试题解析：（1）令x＝1，y＝0，得f（1＋0）－f（0）＝（1＋2×0＋1）×1＝2，

∴f（0）＝f（1）－2＝－2．（3分）

（2）令y＝0，f（x＋0）－f（0）＝（x＋2×0＋1）·x＝x2＋x，

∴f（x）＝x2＋x－2．（6分）

（3）f（x）>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax<x2＋x＋3，

∵x∈（0,2），

∴a<＝1＋x＋．

当x∈（0,2）时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，由∈（0,2），

得（1＋x＋）min＝1＋2． ∴a<1＋2 ．