Question

已知向量

OA

=(2，0)，

OC

=

AB

=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当k=

1

2

时，求|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0为所求轨迹方程．
当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；
当k=0时，x²-2x+y²=0，动点M的轨迹是圆；
当k≠1时，方程可化为(x-1)2+

y2

1-k

=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；
当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．
（2）当k=

1

2

时，M的轨迹方程为(x-1)2+

y2

1 2

=1，．得：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2．
∵|

OM

+2

AM

|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[

1

2

-

1

2

(x-1)2]
=

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

．
∴当x=

5

3

时，|

OM

+2

AM

|2取最小值

7

2

当x=0时，|

OM

+2

AM

|2取最大值16．
因此，|

OM

+2

AM

|的最小值是

14

2

，最大值是4．
（3）由于

3

3

≤e≤

2

2

，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+

y2

1-k

=1，
①当0＜k＜1时，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=

c2

a2

=k，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤k≤

1

2

；
②当k＜0时，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=

c2

a2

=

-k

1-k

=

k

k-1

，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

，而k＜0得，-1≤k≤-

1

2

．
综上，k的取值范围是[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

]．