题目内容

求函数y=sin（
π
3
+4x）+cos（4x-
π
6
）的周期、单调区间及最大、最小值．
分析：经观察，（
π
3
+4x）+（
π
6
-4x）=
π
2
，从而利用诱导公式及三角函数中的恒等变换可将原式化为y=2sin（4x+
π
3
），从而可求其周期、单调区间及最大、最小值．
解答：解：∵（
π
3
+4x）+（
π
6
-4x）=
π
2
，
∴cos（4x-
π
6
）=cos（
π
6
-4x）=sin（
π
3
+4x），
∴原式就是y=2sin（4x+
π
3
），这个函数的最小正周期为
2π
4
，即T=
π
2
．
当-
π
2
+2kπ≤4x+
π
3
≤
π
2
+2kπ（k∈Z）时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为[-
5π
24
+
kπ
2
，
π
24
+
kπ
2
]（k∈Z）．
当
π
2
+2kπ≤4x+
π
3
≤
3π
2
+2kπ（k∈Z）时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为[
π
24
+
kπ
2
，
7π
24
+
kπ
2
]（k∈Z）．
当x=
π
24
+
kπ
2
（k∈Z）时，ymax=2；
当x=-
5π
24
+
kπ
2
（k∈Z）时，ymin=-2．
点评：本题考查诱导公式及三角函数中的恒等变换，观察到“（
π
3
+4x）+（
π
6
-4x）=
π
2
”是关键，也是解题中的亮点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
△ABC中，命题p：cosB＞0；命题q：函数y=sin(B+
π
3
)为减函数
设向量
m
=(sin(
π
3
+B)，sinB-sinA)，
n
=(sin(
π
3
-B)，sinB+sinA)
（1）如果命题p为假命题，求函数y=sin(B+
π
3
)的值域；
（2）命题p且q为真命题，求B的取值范围
（3）若向量
m
⊥
n
，求A．
求函数y=sin（x+
π
6
）sin（x-
π
6
）+acosx的最大值．（其中a为定值）
（1）求函数y=sin(
1
2
x+
π
6
)的最小正周期与单调递增区间；
（2）求函数y=1-2cos(2x+
π
4
)的最大值，及取最大值时自变量x的集合．
在△ABC中，命题p：cosB＞0；命题q：函数y=sin（
π
3
+B）为减函数．
（1）如果命题p为假命题，求函数y=sin（
π
3
+B）的值域；
（2）命题“p且q”为真命题，求B的取值范围．
求函数y=sin(x+
π
6
)+sin(x-
π
6
)+cosx，x∈[0，π]的单调区间、最大值和最小值．

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