Question

已知点F（0，1），直线l：y=-2．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过轨迹E上一点P作圆C：x²+（y-3）²=1的切线，切点分别为A、B，求四边形PACB的面积S的最小值和此时P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接代入距离公式来求动点M轨迹E的方程即可（注意讨论）．
（2）先利用图象和已知条件把S转化为求|AP|问题，然后在△PAC中借助于点P在E上求出|AP|的最小值即可．
解答：解：（1）：设动点M（x，y）．
由题设条件可知 ，即
①当y+2≥0时，即y≥-2时，有
两端平方并整理得
②当y+2＜0即y＜-2时有
两端平方并整理得
∵x²＞0∴＞-1
这与y＜-2矛盾．
综合①②知轨迹E的方程为
（2）连PC，不难发现S=S_△PAC+S_△PBC=2S_△PAC
∵CA⊥PA且|AC|=1∴
即S=|AP||
设P（x，y）于是，|AP|²+|AC|²=|PC|²=x²+（y-3）²
即
∴
当且仅当y=1时“=”成立，此时x=±2
所以四边形PACB存在最小值，最小值是 ，此时P点坐标是（±2，1）
点评：本题以轨迹方程为载体，考查到求动点M的轨迹E的方程问题．在做这一类型题时，关键是找到关于动点M的等式．