题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

解：（1）当a=2时， $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ．
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时取等号，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）当0＜a＜1时，任取0≤x₁＜x₂ $\text{[math]}$ ．
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．
分析：（1）当a=2时，将函数f（x）变形成 $\text{[math]}$ ，然后利用均值不等式即可求出函数f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符号即可判定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性．
点评：本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于基础题．