Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前三项和S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，建立方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，可得T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，等价于对任意的n∈N^*恒成立，利用基本不等式，即可得到结论．
解答：（1）解：设数列{a_n}的公差为d，则
∵S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，
∴
∵d≠0，∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1；
（2）证明：∵=
∴T_n=+…+==
∵T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，
∴对任意的n∈N^*恒成立，
∵=≤=
∴．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．