题目内容

（2011•丹东模拟）选修4-5：不等式选讲
设正有理数x是
3
的一个近似值，令y=1+
2
1+x
．
（Ⅰ）若x＞
3
，求证：y＜
3
；
（Ⅱ）求证：y比x更接近于
3
．
分析：（I）利用作差法，比较y-
3
与0的大小关系，即可得到结论；
（II）利用作差法，比较|y-
3
|-|x-
3
|与0的大小关系，即可得到结论．
解答：证明：（I）y-
3
=1+
2
1+x
-
3
=
(1-
3
)(x-
3
)
1+x

∵x＞
3
，∴x-
3
＞0，而1-
3
＜0，
∴y＜
3
；                             …（5分）
（II）∵|y-
3
|-|x-
3
|=|
(1-
3
)(x-
3
)
1+x
|-|x-
3
|=|x-
3
|×
3
-2-x
1+x
，
∵x＞0，
3
-2＜0，|x-
3
|＞0，
∴|y-
3
|-|x-
3
|＜0，即|y-
3
|＜|x-
3
|，
∴y比x更接近于
3
           …（10分）
点评：本题考查不等式的证明，解题的关键是利用作差法，确定差的符号时关键．
练习册系列答案
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3
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y2
a2
+
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1
2
，
3
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3
）．
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