题目内容

（2011•丹东模拟）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：CD2=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=2
3
，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．
分析：（I）证明△BCD∽△CED，利用相似三角形的性质，可得结论；      
（II）根据D是弧AC的中点，可得OD⊥AC，设垂足为F，在直角△CFD中，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．
解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED
∴
DE
DC
=
DC
DB
，
∴CD2=DE•DB；        
（II）解：∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，设垂足为F
在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1
在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2
∴（2
3
）2=（r2-1）+（r-1）2
∴r2-r-6=0
∴（r-3）（r+2）=0
∴r=3
点评：本题考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．
练习册系列答案
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3
的一个近似值，令y=1+
2
1+x
．
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3
，求证：y＜
3
；
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3
．
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+
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1
2
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3
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3
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