题目内容
（2011•丹东模拟）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点（
，
），一个焦点是F（0，-
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．
分析：（I）假设椭圆方程，利用点（
，
）在椭圆上，即可确定椭圆方程；
（II）先确定直线MN恒经过定点Q（0，1），再证明：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，确定直线PA1，PA2与椭圆方程联立，确定交点坐标，进而可得斜率，由此可得结论．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（II）先确定直线MN恒经过定点Q（0，1），再证明：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，确定直线PA1，PA2与椭圆方程联立，确定交点坐标，进而可得斜率，由此可得结论．
解答：解：（I）一个焦点是F（0，-
），故c=
，可设椭圆方程为
+
=1 …（2分）
∵点（
，
）在椭圆上，∴
+
=1
∴b2=1，b2=
（舍去）
∴椭圆方程为
+x2=1 …（4分）
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PA1方程y=
x+2，PA2方程y=
x-2，
y=
x+2代入
+x2=1得（1+t2）x2+2tx=0，
得x1=-
，y1=
，∴kQM=
=
，…（8分）
y=
x-2代入
+x2=1得（9+t2）x2-6tx=0
得x2=
，y2=
，∴kQN=
=
，…（10分）
∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）． …（12分）
| 3 |
| 3 |
| y2 |
| 3+b2 |
| x2 |
| b2 |
∵点（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3+b2 |
| 1 |
| 4b2 |
∴b2=1，b2=
| 3 |
| 4 |
∴椭圆方程为
| y2 |
| 4 |
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PA1方程y=
| 2 |
| t |
| 6 |
| t |
y=
| 2 |
| t |
| y2 |
| 4 |
得x1=-
| 2t |
| 1+t2 |
| 2t2-2 |
| 1+t2 |
| y1-1 |
| x1 |
| 3-t2 |
| 2t |
y=
| 6 |
| t |
| y2 |
| 4 |
得x2=
| 6t |
| 9+t2 |
| 18-6t2 |
| 9+t2 |
| y2-1 |
| x2 |
| 3-t2 |
| 2t |
∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）． …（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程确定交点坐标是关键．
练习册系列答案
活力课时同步练习册系列答案
相关题目
（2011•丹东模拟）选修4-1：几何证明选讲