Question

17．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 将1=$\frac{1}{3}$（a+2b）代入得到$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）×$\frac{1}{3}$，再利用基本不等式可求最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=3，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）×$\frac{1}{3}$
=$\frac{4+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}}{3}$
≥$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$
=$\frac{8}{3}$，
（当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{3}{4}$时取等号），
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{8}{3}$；
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是利用1的代换配凑基本不等式的条件．