Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f(

x

3

)=

1

2

f(x)；③f（1-x）=1-f（x）．则f(1)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

6

)+f(

1

7

)+f(

1

8

)等于（　　）

• A．

  11

  4

• B．

  21

  8

• C．

  5

  2

• D．无法确定

Answer 1

分析：由f（0）=0，结合f（1-x）+f（x）=1，分别取x=1和

1

2

可求f（1）和f（

1

2

），在f(

x

3

)=

1

2

f(x)中分别取x=1和

1

2

和

1

3

可求f（

1

3

），f（

1

6

），f（

1

9

）的值，结合非减函数的概念求f（

1

7

），f（

1

8

）的值，代入后答案可求．

解答：解：由f（0）=0，f（1-x）+f（x）=1，
令x=1，所以有f（1）=1
令x=

1

2

，所以有f（

1

2

）=

1

2

由f(

x

3

)=

1

2

f(x)，令x=1，有f（

1

3

）=

1

2

（1）=

1

2

令x=

1

2

，有f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
令x=

1

3

，有f(

1

9

)=

1

2

f(

1

3

)=

1

4

．
由非减函数性质：x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），

1

9

＜

1

8

＜

1

7

＜

1

6

，有f（

1

9

）≤f（

1

8

）≤f（

1

7

）≤f(

1

6

)
而f（

1

9

）=

1

4

=f（

1

6

）
所以有f（

1

7

）=f(

1

8

)=

1

4

．
∴f(1)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

6

)+f(

1

7

)+f(

1

8

)=

11

4

．
故选A．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，考查了代入法求值，属中档题．