Question

已知函数f（x）=ax²-e^x-15a（a∈R，e为自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞f′（x）；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）原不等式等价于ax²-2ax-15a＞0，分a=0，a＞0，和a＜0讨论可得；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根，求导数可得g′（x），
若a≤0时，不合题意，若a＞0时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于a的不等式，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=2ax-e^x，
原不等式等价于f（x）-f′（x）=ax²-2ax-15a＞0，
当a=0时，无解；                                
当a＞0时，解集为{x|x＜-3，或x＞5}；                
当a＜0时，解集为{x|-3＜x＜5}．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-e^x，
则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根，则g′（x）=2a-e^x
若a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根
若a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞

e

2

∴实数a的取值范围是(

e

2

，+∞)．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及分类讨论的思想，属中档题．