Question

13．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由图可求周期，即可求ω，由Acos（$\frac{3π}{4}$+φ）=0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由Acos（$\frac{π}{6}×3-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可解得A，解得函数解析式；
（2）根据正弦函数的图象变换规律可求g（x）=2sin$\frac{3}{2}$x，由x∈[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]，$\frac{3}{2}$x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，即可解得函数y=g（x）在区间[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]上的值域．

解答 解：（1）周期T=4×（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{3}$，即ω=3；
∵Acos（$\frac{3π}{4}$+φ）=0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∵（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{2}$）在函数图象上，可得：Acos（$\frac{π}{6}×3-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得：A=2．
∴f（x）=2cos（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）将f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得：y=2cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
再将所得图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位可得y=g（x）=2cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{2}$）=2sin$\frac{3}{2}$x，
∵x∈[-$\frac{5π}{9}$，$\frac{2π}{9}$]，$\frac{3}{2}$x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
∴g（x）=2sin$\frac{3}{2}$x∈[-2，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了根据图象求正弦型函数解析式；三角函数的周期、相位变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．