题目内容

已知：
a
=（2cosx，sinx），
b
=（
3
cosx，2cosx）．设函数f（x）=
a
•
b
-
3
．（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若f(
α
2
-
π
6
)-f(
α
2
+
π
12
)=
6
，且α∈(
π
2
，π)，求θ
f(x)=a•b-
3
=2
3
cos2x+2sinxcosx-
3

=sin2x+
3
(2cos2x-1)
=sin2x+
3
cos2x
=2sin(2x+
π
3
)

（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为T=
2π
2
=π
（2）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
得2kπ-
5π
6
≤2x≤2kπ+
π
6

∴kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，（k∈Z）
（3）∵f(
α
2
-
π
6
)-f(
α
2
+
π
12
)=
6
，∴2sinα-2cosα=
6

∴2
2
sin(α-
π
4
)=
6
，∴sin(α-
π
4
)=
3
2

∵α∈(
π
2
，π)，∴α-
π
4
∈(
π
4
，
3π
4
，
∴α-
π
4
=
π
3
或
2π
3
，∴α=
7π
12
或
11π
12
（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（2cosα，2sinα），
b
=（3cosβ，3sinβ），若向量
a
与
b
的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+
1
2
=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=
1
2
的位置关系是（　　）
A、相交B、相切
C、相离D、相交且过圆心
已知向量
.
a
=（ 2cosα，2sinα），
.
b
=（ 3sosβ，3sinβ），向量
.
a
与
.
b
的夹角为30°则cos（α-β）的值为
 
已知向量
a
=（2cosα，2sinα），
b
=（3cosβ，3sinβ），若
a
与
b
的夹角为60°，则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（　　）
已知向量
a
=（2cosα，2sinα），
b
=（3cosβ，3sinβ），
a
与
b
的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（　　）
（2013•德州二模）已知向量
a
=（2cosωx，-1），
b
=（
3
sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的表达式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
π
2
]上f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

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