Question

7．已知函数f（x）=|2x-1|，g（x）=f（f（x））+lnx，求函数g（x）在区间（0，1）上不同的零点个数．

Answer 1

分析 通过x的范围化简函数的表达式，然后转化方程的解为函数的零点，画出函数的图象即可得到函数零点的个数．

解答 解：∵函数f（x）=|2x-1|，
所以函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|4x-1|+lnx，0＜x≤\frac{1}{2}}\\{|4x-3|+lnx，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，
g（x）=0，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
函数y=|4x-1|与y=-lnx的交点个数为1；
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]，
函数y=|4x-3|与y=-lnx交点的个数为2；
函数的图象如图：由图象可知函数的零点为3个．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，函数零点定理的应用，数形结合思想和分类讨论的应用．