Question

函数y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域为（　　）

A．[-5，5]

B．[-4，5]

C．[-3，5]

D．[-4，3]

Answer 1

分析：由于y=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（tanφ=-

4

3

），-

π

3

＜φ＜-

π

4

，可求得x+φ的范围，利用正弦函数的单调性即可求得答案．

解答：解：∵y=f（x）=3sinx-4cosx
=5（

3

5

sinx-

4

5

cosx）
=5sin（x+φ）（tanφ=-

4

3

），
∵tanφ=-

4

3

，令|φ|＜

π

2

，
则-

π

3

＜φ=arc（-

4

3

）=-arc

4

3

＜-

π

4

，
又0≤x≤π，
∴-

π

3

＜x+φ＜

3π

4

，
∴当x+φ=x-arc

4

3

=

π

2

时，y=f（x）=3sinx-4cosx取得最大值5；
又y=f（x）=3sinx-4cosx在[0，

π

2

-arctan

4

3

]上单调递增，在[

π

2

-arctan

4

3

，π]上单调递减，
∴y_min=f（0）=-4；
∴函数y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域为[-4，5]．
故选：B．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的单调性，属于中档题．