Question

已知f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数a∈R，有f（-a）+f（a）=0恒成立，若f（-3）=2
（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中m∈R且m＞0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0；再与条件相结合即可判断f（x）在R上的单调性；
（Ⅱ）先利用奇函数的定义把：转化为得；再于（Ⅰ）的结论相结合得到，最后分类讨论求出x的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f（x）为R上的减函数．
理由如下：∵f（-a）+f（a）=0恒成立得f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
又因f（x）是R上的单调函数，
由f（-3）=2，f（0）＜f（-3），所以f（x）为R上的减函数．
（Ⅱ）由，得，
结合（I）得，整理得
当m＞1时，；
当m=1时，{x|x＞0}；
当0＜m＜1时，；
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，是对这两个知识点的综合考查，属于中档题目．